คณิตศาสตร์หน้ารู้

วันจันทร์ที่ 23 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2558

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1

บทเรียนสำเร็จรูป เรื่อง การบวก การลบ การคูณ การหารทศนิยมระคน แบ่งเนื้อหา

เป็น 4 ตอน ดังนี้

1. การบวก การลบทศนิยมระคน

2. การคูณ การหารทศนิยมระคน

3. การบวก การลบ การคูณ การหารทศนิยมระคน

4. โจทย์ปัญหาการบวก การลบ การคูณ การหารทศนิยมระคน

ข้อปฏิบัติสำหรับครู ดังนี้

1. ศึกษาบทเรียนสำเร็จรูปให้เข้าใจก่อนให้นักเรียน เรียนด้วยตนเอง เพราะบางตอน

ของบทเรียน กำหนดให้ครูตรวจแบบฝึกหัด

2. อธิบายวิธีการเรียนด้วยบทเรียนสำเร็จรูปให้นักเรียนเข้าใจ

3. ในบทเรียนสำเร็จรูปไม่ได้กำหนดเวลาเรียนไว้ อาจใช้เวลาว่าง เวลาใดก็ได้

การเรียนจะช้า หรือเร็ว ขึ้นอยู่กับศักยภาพของผู้เรียน และดุลพินิจของครู

4. ครูต้องพยายามสร้างวินัยในตนเองให้เกิดขึ้นในตัวของนักเรียนเสมอ ๆ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การไม่ดูเฉลยก่อนทำแบบฝึกหัด

5. ครูอาจให้นักเรียนจับคู่กันเรียนระหว่างนักเรียนที่ซ่อมเสริมด้วยกันหรือจับคู่

กับนักเรียนที่เก่งกว่า เพื่อช่วยเหลือดูแล หรือเรียนเป็นกลุ่ม หรือไปใช้เรียนที่บ้านก็ได้

แต่ต้องเน้น ให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดด้วยตนเอง

ข้อปฏิบัติสำหรับนักเรียน ดังนี้

1. ศึกษาบทเรียนสำเร็จรูปให้เข้าใจอย่างถ่องแท้ โดยการอ่านทุกขั้นตอน

2. มีความตั้งใจ มีวินัยในตนเอง ไม่ดูเฉลยก่อนทำแบบฝึก

3. ถ้านักเรียนมีข้อสงสัยเกี่ยวกับบทเรียน ให้ถามครูทันที

แบบทดสอบก่อนเรียน

บทเรียนสำเร็จรูป ชุดพัฒนาการเรียนรู้ เรื่อง ทศนิยม************************

คำชี้แจง ให้นักเรียนหาคำตอบที่ถูกต้อง

แบบทดสอบ 15 ข้อ คะแนนเต็ม 15 คะแนน เวลา 30 นาที

1. 24.53 + 8.62 – 12.37 =

ก. 33.15 ข. 20.77 ค. 20.75 ง. 20.78

2. 97.78 – 75.26 + 65.26 =

ก. 22.52 ข. 87.78 ค. 80.78 ง. 21.52

3. 49.27 – 3.4 ´ 5.62 =

ก. 30.162 ข. 45.87 ค. 35.161 ง. 28.162

4. 48.35 – 25.68 + 11.27 =

ก. 21.67 ข. 22.67 ค. 33.94 ง. 32.93

5. 63.52 + 32.74 – 56.316 =

ก. 39.933 ข. 39.944 ค. 32.955 ง. 38.944

6. 9.36 – (5.52 ¸ 8) =

ก. 8.67 ข. 7.67 ค. 5.66 ง. 3.67

7. 31.11 ¸ 1.83 – 12.45 =

ก. 4.55 ข. 4.54 ค. 3.55 ง. 5.55

8. (20.25 + 14.74) + 6.25 =

ก. 34.99 ข. 41.24 ค. 40.00 ง. 42.24 9. 3.8 ´ 5.8 ¸ 2.9 =

ก. 7.40 ข. 7.61 ค. 7.60 ง. 6.60

10. 2.95 + 38.25 ¸ 4.5 =

ก. 11.44 ข. 10.45 ค. 11.45 ง. 11.35

11. 37.137 + 15.043 – 13.016 =

ก. 38.164 ข. 39.162 ค. 39.166 ง. 39.164

12. (12.50 ´ 10) ¸ 2.5 =

ก. 50 ข. 49 ค. 51 ง. 60

13. (6.21 ´ 3.1) – (34.5 ¸ 10) =

ก. 15.080 ข. 15.081 ค. 12.088 ง. 16.518

14. เติมน้ำมัน 8 ลิตร ให้ธนบัตรใบละ 500 บาท ได้รับเงินทอน 270 บาท น้ำมันราคา ลิตรละเท่าไร

ก. 59.93 บาท ข. 58.90 บาท ค. 44.91 บาท ง. 75.00 บาท

15. กุ้งแห้งราคาขีดละ 23.2 บาท ซื้อมา 5.8 ขีด และซื้อปลาเค็ม 74.63 บาท รวมเป็นเงิน เท่าไร

ก. 134.56 บาท ข. 201.18 บาท ค. 209.18 บาท ง. 209.19 บาทบทเรียนสำเร็จรูป ชุดพัฒนาการเรียนรู้ เรื่อง ทศนิยม

เล่มที่ 6 บทเรียนสำเร็จรูป เรื่อง การบวก การลบ การคูณ การหารทศนิยมระคน

1. การบวก การลบทศนิยมระคนเมื่อศึกษาบทเรียนนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถหาคำตอบการบวก การลบทศนิยมระคน และแสดงวิธีทำได้

การบวก การลบทศนิยมระคน ให้ทำการคำนวณในวงเล็บก่อน ถ้าโจทย์ไม่มีวงเล็บ

ให้คำนวณบวกหรือลบ โดยเรียงจากซ้ายไปขวา

ตัวอย่าง 1 (34.52 - 18.47) + 32.6 =

วิธีทำ (34.52 - 18.47) + 32.6 = 34.52

18.47

16.05

32.60

48.65

ดังนั้น (34.52 - 18.47) + 32.6 = 48.65การบวก การลบทศนิยมระคน ให้ทำการคำนวณในวงเล็บก่อน ถ้าโจทย์ไม่มีวงเล็บ

ให้คำนวณบวกหรือลบ โดยเรียงจากซ้ายไปขวา

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2

เรขาคณิต การหาพื้นที่และปริมาตร

ระดับชั้นมัธยมต้นนี้ นักเรียนควรมีพื้นฐานเกี่ยวกับ พื้นที่และปริมาตรที่ควรทราบดังนี้

1. พิระมิด(Pyramid) คือ ทรงสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลม

ซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน และทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

พื้นที่ผิวเอียง = (1/2) x เส้นรอบฐาน x สูงเอียง

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวเอียง + พื้นที่ฐาน

ปริมาตร = (1/3) x พื้นที่ฐาน x สูง

2. ปริซึม เป็นรูปทรงที่มีหน้าตัด(ฐาน) ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของ ปริซึม 3. วงกลมแบน พื้นที่วงกลม = pr² โดยที่ p = 22/7

หรือ p = 3.14159

พื้นที่วงแหวน = pr₁² - pr₂² โดยที่ r₁ = รัศมีวงกลม ใหญ่

4. ทรงกลม (sphere) คือ ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่

ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน

พื้นที่ผิวทรงกลม = 4pr²

ปริมาตรทรงกลม = (4/3)pr³

5. ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติใด ๆ ที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับหน้าตัด และอยู่ในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้รอยตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ

พื้นที่ผิวข้าง = 2pr x h เมื่อ h คือ สูงตรง

r คือ รัศมีปากกระบอก )

พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก

ปริมาตร = pr² x h

หน่วยการเรียนรู้ที่ 3

รากที่สองของสอง หรือที่รู้จักในชื่อ ค่าคงตัวของพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย √2 เป็นจำนวนจริงบวกที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ 1.414213562373095

ในทางเรขาคณิต กรณฑ์ที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งรากที่สองของสองนี้ถือเป็นจำนวนอตรรกยะจำนวนแรกที่เป็นที่รู้จักากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลนเผยให้เห็นค่าประมาณของ

\sqrt2

ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ

\frac{1}{60}

จำนวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตำแหน่งที่หก ^[1]

1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.

บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น^[2]:-

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686.

การค้นพบจำนวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สำคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสำนักของพีทาโกรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของกรณฑ์ที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคำกล่าวว่าพีทาโกรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจำนวนและทำให้ไม่ยอมรับในการค้นพบจำนวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าพีทาโกรัสจะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจำนวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดยการกดน้ำ^[3]ตำนานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้ำโดยศิษย์คนอื่นของพีทาโกรัส^[3] หรืออาจถูกขับออกจากสำนัก^[3]^[4]

วิธีการคำนวณ[แก้]

นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคำนวณกรณฑ์ที่สองของสองในรูปแบบต่างๆ กันเพื่อเขียนค่าประมาณใกล้เคียงของกรณฑ์ที่สองของสองออกมาในรูปของอัตราส่วนของจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคือขั้นตอนวิธีของบาบิโลเนียเพื่อคำนวณรากที่สองของสอง^[5] ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคำนวณของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข ขั้นตอนวิธีเพื่อหากรณฑ์ที่สอง (อาจใช้เพื่อหากรณฑ์ที่สองของจำนวนใดๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทำได้ดังนี้

เลือก a₀ >0 ค่า a₀ ที่เลือกนี้จะมีผลกระทบต่อความเร็วในการลู่เข้าสู่ค่าของ √2 ในระดับความแม่นยำหนึ่งเท่านั้น
ใช้ฟังก์ชันเรียกตัวเองเพื่อคำนวณ a₁, a₂, a₃, ..., a_n

a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}

ตัวอย่างการคำนวณโดยเลือก a₀=1 ได้ผลดังนี้

a₀			=	1
a₁	=	3/2	=	1.5
a₂	=	17/12	=	1.416...
a₃	=	577/408	=	1.414215...
a₄	=	665857/470832	=	1.4142135623746...

ในปี ค.ศ.1997 ทีมของยาซูมาสะ คานาดะได้คำนวณค่าของ √2 แม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 137,438,953,444

เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ.2006 ความท้าทายในการคำนวณค่าของ √2 ได้ถูกทำให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คำนวณค่าประมาณใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมง โดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจำ 16 Gb^[6]

อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจำนวนค่าคงตัวอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ ค่า π ดูจะเป็นจำนวนที่ถูกประมาณได้แม่นยำละเอียดสูงสุด^[7]

การพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะ[แก้]

ส่วนนี้รอเพิ่มเติมข้อมูล คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมข้อมูลในส่วนนี้ได้

ขนาดกระดาษ[แก้]

√2 ถูกใช้เป็นค่าสัดส่วนของการผลิตกระดาษตามมาตรฐาน ISO 216 (A4,A3,A0,ฯลฯ)สัดส่วนนี้ถูกตั้งขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าทุกครั้งที่ทำการตัดครึ่งตามขวางกระดาษที่มีสัดส่วนเท่ากับ √2 กระดาษที่ถูกตัดจะยังคงมีสัดส่วนยาว:กว้างคงที่ คือ เป็น√2 เท่าเดิม

ความสับสนในภาษาไทย[แก้]

คำว่า ราก ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความหมายในเชิงผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ การกล่าวถึง รากที่สองของสอง จึงมีความหมายเดียวกับผลลัพธ์ของสมการ x²=2 นั่นคือ +√2 และ -√2

เครื่องหมาย กรณฑ์ ในทางคณิตศาสตร์ ใช้เพื่อเรียกเครื่องหมาย square root หรือ √ การกล่าวถึง กรณฑ์ที่สองของสอง จึงเป็นการหมายถึง รากที่สองที่เป็นบวกของสอง นั่นคือ +√2 เท่านั้น

อย่างไรก็ดีในปัจจุบัน การเรียก รากที่สองของสอง ถูกเข้าใจกันโดยทั่วไปว่าหมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกของสองแต่เพียงอย่างเดียว เพื่อป้องกันความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนจึงจำเป็นต้องอาศัยบริบทในการพิจารณา